Question

若（1-2x）⁵展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為m，（1+x³）（1-2x）⁶展開(kāi)式中x⁵的系數(shù)為n，則m•n=    ．

Answer 1

【答案】分析：通過(guò)賦值，求出m的值，然后根據(jù)題意，先求出（1-2x）⁶展開(kāi)式的通項(xiàng)，分析可得（1+x³）（1-2x）⁶展開(kāi)式中出現(xiàn)x⁵的項(xiàng)有兩種情況，①，（1+x³）中出1，而（1-2x）⁶展開(kāi)式中出x⁵項(xiàng)，②，（1+x³）中出x³項(xiàng)，而（1-2x）⁶展開(kāi)式中出x²項(xiàng)，分別求出其系數(shù)，進(jìn)而將求得的系數(shù)相加可得n，然后求解m•n的值．
解答：解：由題意x=1可得（1-2x）⁵展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為m=-1；
根據(jù)題意，（1-2x）⁶展開(kāi)式的通項(xiàng)為T_r+1=C₆^r•（-2x）^r=（-1）^rC₆^r•2^rx^r，
則（1+x³）（1-2x）⁶展開(kāi)式中出現(xiàn)x⁵的項(xiàng)有兩種情況，
①，（1+x³）中出1，而（1-2x）⁶展開(kāi)式中出x⁵項(xiàng)，其系數(shù)為1×（-1）⁵C₆⁵2⁵=-192，
②，（1+x³）中出x³項(xiàng)，而（1-2x）⁶展開(kāi)式中出x²項(xiàng)，其系數(shù)為1×（-1）²C₆²2²=60，
則（1+x³）（1-2x）⁶展開(kāi)式中x⁵的系數(shù)為：n=-192+60=-132；
所以m•n=132
故答案為：132．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由多項(xiàng)式的乘法分析其展開(kāi)式中x⁵項(xiàng)出現(xiàn)的情況．