Question

已知直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，，，橢圓F以A、B為焦點且經(jīng)過點D．
（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求橢圓F的方程；
（2）若點E滿足=，是否存在不平行于AB的直線L與橢圓F交于M、N兩點，且|ME|=|NE|？若存在，求出直線L與AB夾角的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸
建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0）．c=1
設(shè)橢圓F方程為：
，D（-1，）在橢圓上代入可得
∴橢圓F的方程是：． （7分）
（2）由=得：E（0，），若L⊥AB，則與題意不符，
故可設(shè)L：y=kx+m（k≠0）
由　，
若M、N存在，則△＞0即64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0，4k²+3＞m²，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點F（x₀，y₀），
則，，
∴∴4k²+3＜4
∴∴且k≠0
∴L與AB的夾角的范圍是（0，）． （14分）
分析：（1）考慮先以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓F方程為：，則由題意可得c=1，D（-1，）在橢圓上代入可求a，b，從而可求橢圓得方程
（2）由=可求E（0，），若L⊥AB，則與題意不符，可設(shè)L：y=kx+m（k≠0），由直線與橢圓有2個交點可得△＞0，即4k²+3＞m²，利用方程根與系數(shù)關(guān)系可求，，可得從而可求
點評：利用橢圓（拋物線、雙曲線）得性質(zhì)求解相應(yīng)的方程是圓錐曲線得�？荚囶}，解題的關(guān)鍵是要靈活利用圓錐曲線的性質(zhì)．