Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足

(2x-y+2)(4x-y-2)≤0 0≤x≤2，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=

m

n

x+y（m＞0，n＞0）的最大值為10，則2m+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的最大值確定最優(yōu)解，利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，
由z=

m

n

x+y（m＞0，n＞0），
得y=-

m

n

x+z（m＞0，n＞0），
則由圖象可知當(dāng)直線y=-

m

n

x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為10，
由

2x-y+2=0 4x-y-2=0

，解得

x=2 y=6

，
即A（2，6），此時(shí)

2m

n

+6=10，
即m=2n，
∴2m+

1

n

=4n+

1

n

≥2

4n• 1 n

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)4n=

1

n

，即n=

1

2

時(shí)取等號．
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．