Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）
（1）求f（x）最小值；
（2）已知：0≤x₁＜x₂，求證：ex2-x1＞1+ln

x2+1

x1+1

；
（3）f（x）圖象上三點(diǎn)A、B、C，它們對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)為x₁，x₂，x₃，且x₁，x₂，x₃為公差為1 等差數(shù)列，且均大于0，比較|AB|和|BC|長大�。�

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由單調(diào)性求出函數(shù)的最小值．
（2）由（1）可得：f（x）≥1，故有 e^x＞1+ln（x+1）（x＞0）．根據(jù) （x₂-x₁+1）＞

x2+1

x1+1

可得ex2-x1＞1+ln(x2-x1+1)＞1+ln

x2+1

x1+1

，故只需比較x₂-x₁+1與1+

x2-x1

x1+1

大�。�再根據(jù)x₁＞0，可得

x2-x1

x1+1

＜x2-x1，故結(jié)論成立．
（3）先求出|AB|²和|BC|²的解析式，比較|AB|和|BC|大小，只需比較y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．作差并利用基本不等式可得y₂-y₁＜y₃-y₂，從而|AB|＜|BC|成立．

解答：解：（1）f′(x)=ex-

1

x+1

  (x＞-1)，x＞0時(shí)f′（x）＞0，-1＜x＜0時(shí)f′（x）＜0，
故f（x）在x=0時(shí)，f（x）取最小值為f（0）=1．（4分）
（2）由（1）可得：f（x）≥1，故：e^x＞1+ln（x+1）（x＞0）．∵（x₂-x₁+1）-

x2+1

x1+1

=

(x2-x1)x1

x1+1

＞0，故 （x₂-x₁+1）＞

x2+1

x1+1

．
故 ex2-x1＞1+ln(x2-x1+1)＞1+ln

x2+1

x1+1

，
只需比較x₂-x₁+1與1+

x2-x1

x1+1

大�。�
∵x₁＞0，∴

x2-x1

x1+1

＜x2-x1，故結(jié)論成立．  （9分）
（3）∵|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2，|BC|2=(x3-x2)2+(y3-y2)2，
又∵f（x）在x＞0為增函數(shù)，∴y₂＞y₁，y₃＞y₂．
∴比較|AB|和|BC|大小，只需比較y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．
y2-y1-(y3-y2)=2y2-(y1+y3)=2[ex2-ln(1+x2)]-[ex1-ln(1+x1)+ex3-ln(1+x3)]
=[2ex2-(ex1+ex3)]+[ln(1+x1)(1+x3)-2ln(1+x2)]．
∵ex1+ex3＞2

ex1+x3

=2ex2，故 (1+x1)(1+x3)＜(

2+x1+x3

2

)2=(1+x2)2
∴y₂-y₁＜y₃-y₂，∴|AB|＜|BC|．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，用放縮法證明不等式，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題．