若R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,且當(dāng)時,,則方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)根之和為(    )

A. 4020      B.4022    C.4024    D.4026

 

【答案】

B

【解析】

試題分析:∵函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,∴f(2-x)=f(x),又y=f(x)為奇函數(shù),∴f(x+2)=f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期為4,,又定義在R上的奇函數(shù),故f(0)=0,,∵f(x)=f(0)+,∴f(x)=,∵0<x≤1時,f(x)=log2x≤0,∴f(x)=在(0,1)內(nèi)沒有一實根,在(-1,0)內(nèi)有一實數(shù)根x1,又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,∴f(x)=在(2,3)有一個實根x2,且x1+x2=2;

∵f(x)的周期為4,當(dāng)2010<x<2012時,函數(shù)的圖象與2<x<4的圖象一樣,∴原方程在區(qū)間(2010,2012)內(nèi)的實根有2個,設(shè)為a,b,則=2011∴a+b=4022,故選B

考點:本題主要考查根的存在性及根的個數(shù)判斷及奇偶函數(shù)圖象的對稱性,關(guān)鍵在于判斷f(x)的周期為4,再結(jié)合0<x≤1時,f(x)=log2x與奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,數(shù)形結(jié)合予以解決,屬于中檔題.

點評:解決該試題的關(guān)鍵是由奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱可得f(x+4)=f(x),再利用f(0)=0,及0<x≤1時,f(x)=log2x,數(shù)形結(jié)合,可求得方程f(x)= +f(0)= 在區(qū)間(2010,20121)內(nèi)的所有實根之和.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,數(shù)學(xué)公式,以下命題:
①x>0時,數(shù)學(xué)公式;
②f(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增;
③f(x)的反函數(shù)f-1(x)的定義域為數(shù)學(xué)公式;
④函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f(x-s)-t的圖象關(guān)于點數(shù)學(xué)公式對稱.
其中正確命題的個數(shù)是


  1. A.
    1個
  2. B.
    2個
  3. C.
    3個
  4. D.
    4個

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年上海市崇明縣高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,,以下命題:
①x>0時,
②f(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增;
③f(x)的反函數(shù)f-1(x)的定義域為;
④函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f(x-s)-t的圖象關(guān)于點對稱.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x-2)=-f(x).給出下列四個結(jié)論:

①f(2)=0;

②f(x)是以4位周期的周期函數(shù);

③f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱;

④f(x+2)=f(-x).

其中正確結(jié)論的序號是_____________(把所有正確結(jié)論的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x-2)=-f(x).給出下列四個結(jié)論:

①f(2)=0;

②f(x)是以4位周期的周期函數(shù);

③f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱;

④f(x+2)=f(-x).

其中正確結(jié)論的序號是_____________(把所有正確結(jié)論的序號都填上)

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