Question

【題目】在直角坐標系中，點到兩點的距離之和為4，設點的軌跡為,直線與交于兩點。

（Ⅰ）寫出的方程;

（Ⅱ）若，求的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．

（Ⅱ）設，其坐標滿足

消去y并整理得，故．

若，即．而，

于是，化簡得，所以．

【解析】

試題（1）根據橢圓的定義，可判斷點的軌跡為橢圓，再根據橢圓的基本量，容易寫出橢圓的方程，求曲線的方程一般可設動點坐標為，然后去探求動點坐標滿足的方程，但如果根據特殊曲線的定義，先行判斷出曲線的形狀(如橢圓，圓，拋物線等)，則可直接寫出其方程；（2）一般地，涉及直線與二次曲線相交的問題，則可聯(lián)立方程組，或解出交點坐標，或設而不求，利用一元二次方程根與系數的關系建立關系求出參數的值(取值范圍)，本題可設，根據，及滿足橢圓的方程，利用一元二次方程根與系數的關系消去坐標即得.

試題解析：(1)設,由橢圓定義可知,點的軌跡是以為焦點,

長半軸為2的橢圓, 2分

它的短半軸, 4分

故曲線的方程為. 6分

(2)證明:設,其坐標滿足消去并整理,得

8分

故. 10分

即，而，

于是，

解得13分