Question

17．下列命題：
（1）若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，|θ|∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$），則f（sinθ）＞f（cosθ）；
（2）若銳角α、β滿足cosα＜sinβ，則α+β＜$\frac{π}{2}$；
（3）在△ABC中，如果A＞B成立，則一定有sinA＞sinB成立；
（4）在△ABC中，如果有sin2A=sin2B，則該三角形一定為等腰三角形．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可判斷（1）；利用誘導(dǎo)公式，可判斷（2）；利用正弦定理，可判斷（3）；判斷出三角形的形狀，可判斷（4）．

解答 解：∵f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，
故f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
故當(dāng)a，b∈[-1，1]時(shí)，有|a|＜|b|，則f（|a|）＞f（|b|）；
當(dāng)|θ|∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）時(shí)，1＞|sinθ|＞|cosθ|＞0；
∴f（sinθ）＜f（cosθ），故（1）錯(cuò)誤；
若銳角α、β滿足cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α）＜sinβ，
則$\frac{π}{2}$-α＜β，即α+β＞$\frac{π}{2}$，故（2）錯(cuò)誤；
在△ABC中，如果A＞B?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB成立，故（3）正確；
在△ABC中，如果有sin2A=sin2B，
則2A=2B，或2A+2B=π，
即A=B，或C=$\frac{π}{2}$
則該三角形一定為等腰三角形或直角三角形，故（4）錯(cuò)誤；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的圖鈴和性質(zhì)，誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理，難度中檔．