Question

已知橢圓C：的長軸長為4，若點P是橢圓C上任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點，記直線PM、PN的斜率分別為K_PM、K_PN，當時，則橢圓方程為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由長軸長易求a值，設P（x₀，y₀），直線l方程為y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），由可得一等式，再由P在橢圓上可得一等式，由兩式可消去y₀，由P為橢圓任意點可知該式與x₀無關，由此可求得b值．
解答：由長軸長為4得2a=4，解得a=2，
設P（x₀，y₀），直線l方程為y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），
則K_PM=，K_PN=，
由得，•=-，即=-，
所以=（4k²+1）-①，
又P在橢圓上，所以，即，代入①式得4b²-=（4k²+1）-，
所以4b²=（4k²+1）+（b²-1），
因為點P為橢圓上任意一點，所以該式恒成立與x₀無關，
所以b²-1=0，解得b=1，
所以所求橢圓方程為．
故選D．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查恒成立問題，解決本題的關鍵是正確理解“點P的任意性”，難度較大．