已知F是橢圓C:數(shù)學公式的左焦點,過原點O的直線交橢圓C于P,Q兩點,若|PF|•|QF|=9,則|PQ|=________.

2
分析:設(shè)P點的坐標為(m,n),利用橢圓的第二定義可表示出|PF|,|QF|,再利用|PF|•|QF|=9,可求得m,繼而可求得n,從而可求得|PQ|.
解答:∵F是橢圓C:+=1的左焦點,
∴F(-3,0),離心率e==;
∵過原點O的直線交橢圓C于P,Q兩點,設(shè)P點的坐標為(m,n),
則Q(-m,-n).
設(shè)P點在該橢圓的左準線x=-=-上的射影為P′,Q點在該橢圓的左準線x=-上的射影為Q′,
由橢圓的第二定義得:==e=,
∴|PF|=|PP′|=[m-(-)]=(m+),
同理可得,|QF|=-m),
∵|PF|•|QF|=9,
(m+)•-m)=9,
∴m2=
∵P(m,n)為橢圓C:+=1的點,
+=1,
∴n2=,
∴|PQ|2=4m2+4n2=4×=56,
∴|PQ|=2
故答案為:2
點評:本題考查橢圓的第二定義,考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想,考查運算能力,求得P點的坐標是關(guān)鍵,也是難點,屬于難題.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),點A,B分別是橢圓的長軸的左、右端點,
左焦點坐標為(-4,0),且過點P 
3
2
,  
5
2
3
)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知F是橢圓C的右焦點,以AF為直徑的圓記為圓M,試問:過P點能否引圓M的切線,若能,求出這條切線與x軸及圓M的弦PF所對的劣弧圍成的圖形的面積;若不能,說明理由.

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已知F是橢圓C:
x2
16
+
y2
7
=1
的左焦點,過原點O的直線交橢圓C于P,Q兩點,若|PF|•|QF|=9,則|PQ|=
2
14
2
14

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1.    (本小題滿分12分)

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已知F是橢圓C:的左焦點,過原點O的直線交橢圓C于P,Q兩點,若|PF|•|QF|=9,則|PQ|=   

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