Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣axlnx．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；

（2）證明：對(duì)于a∈（0，e），函數(shù)f（x）在區(qū)間（）上單調(diào)遞增．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線斜率k=f′（1）,切點(diǎn)（1，f(1)）,由點(diǎn)斜式可得切線方程；

（2）求導(dǎo)，通過(guò)研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)證明函數(shù)的單調(diào)性即可．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ex﹣xlnx（x＞0）

∴f′（x）=ex﹣lnx﹣1，

∴f′（1）=e﹣1，

又∵f（1）=e，

∴曲線f（x）在x=1處的切線方程為y﹣e=（e﹣1），即y=（e﹣1）x+1

（2）∵f（x）=ex﹣axlnx，a∈（0，e），x∈（，1），

∴f′（x）=ex﹣a（1+lnx），

①當(dāng)1+lnx≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（，1）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)1+lnx＞0即1≤a＜e時(shí)，令g（x）=，

∴g′（x）==，

令h（x）=lnx﹣+1，x∈（，1），

顯然h（x）在（，1）上單調(diào)遞增，且h（1）=0，

∴h（x）＜0在x∈（，1）上恒成立，∴g′（x）＜0在x∈（，1）上恒成立，

故g（x）在（，1）上單調(diào)遞減，

又g（1）=e，∴g（x）＞g（1）=e在x∈（，1）上恒成立，

又1≤a＜e，∴a＜g（x）=，

∴ex﹣a（1+lnx）＞0，

所以f（x）在區(qū)間（，1）上單調(diào)遞增．

綜上可知，對(duì)a∈（0，e），函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1）上單調(diào)遞增．