Question

下列命題：
①若f（x）存在導(dǎo)函數(shù)，則f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函數(shù)h（x）=cos⁴x-sin⁴x，則h′（

π

12

）=0；
③若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），則g′（2013）=2012；
④若三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點”的充要條件；
⑤函數(shù)f（x）=

sinx

2+cosx

的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

）（k∈Z）．
其中真命題為

 

．（填序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分別利用導(dǎo)數(shù)的運算以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用進行判斷即可．

解答： 解：①[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），所以①錯誤．
②因為h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x，
所以h'（x）=-2sin2x，即h′(

π

12

)=-2sin(2×

π

12

)=-2sin

π

6

=-2×

1

2

=-1，所以②錯誤．
③因為g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2012）]+（x-2013）?[（x-1）（x-2）…（x-2012）]'
所以g'（2013）=（2013-1）（2013-2）…（2013-2012）=1×2×…×2012=2012!，所以③正確．
④三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx+c，（a≠0），若f（x）有極值點，則判別式△=4b²-12ac＞0，
即b²-3ac＞0，故所以④錯誤．
⑤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=

cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

1+2cosx

(2+cosx)2

，
由f′(x)=

1+2cosx

(2+cosx)2

＞0得1+2cosx＞0，即cosx＞-

1

2

，所以2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈Z，所以⑤正確．
故答案為：③⑤．

點評：本題主要考查與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運算以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，比較綜合．