Question

已知函數(shù)（）．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果是曲線上的任意一點，若以為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的最小值；

（3）討論關(guān)于的方程的實根情況．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為 _，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）的最小值為；（3）時，方程有兩個實根，當(dāng)時，方程有一個實根，當(dāng)時，方程無實根．

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)思想，分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得到方程的根，則為增函數(shù)，為減函數(shù)，本問要注意函數(shù)的定義域；第二問，先利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，得到恒成立的表達式，將其轉(zhuǎn)化為對恒成立，所以關(guān)鍵就是求，配方法求最大值即可；第三問，先將原方程化為，設(shè)，看函數(shù)圖像與x軸的交點，對求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，討論最大值的三種情況來決定方程根的情況.

試題解析：(Ⅰ) ，定義域為，

則．

因為，由得， 由得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為 _，單調(diào)遞減區(qū)間為．   .3分

(Ⅱ)由題意，以為切點的切線的斜率滿足

  ，

所以對恒成立．

又當(dāng)時， ，

所以的最小值為．         .6分

(Ⅲ)由題意，方程化簡得

令，則．

當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

所以在處取得極大值即最大值，最大值為．

所以當(dāng)，即時， 的圖象與軸恰有兩個交點，

方程有兩個實根，

當(dāng)時，的圖象與軸恰有一個交點，

方程有一個實根，

當(dāng)時，的圖象與軸無交點，

方程無實根．                 12分

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.