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12.已知Sn為數列{an}的前n項和,a1=1,且12an+1=Sn+1.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若6n-m(Sn+1)≤18對n∈N*恒成立,求實數m的取值范圍.

分析 (1)由12an+1=Sn+1,n=1時,12a2=1+1,解得a2.n≥2時,利用遞推關系可得:an+1=3an,數列{an}從第二項起是等比數列,可得an
(2)n≥2時,Sn=12an+1-1=2×3n-1-1.由于6n-m(Sn+1)≤18對n∈N*恒成立,對n分類討論,利用數列的單調性即可得出.

解答 解:(1)∵12an+1=Sn+1,
∴n=1時,12a2=1+1,解得a2=4.
n≥2時,12an=Sn-1+1,
12an+1-12an=Sn-Sn-1=an,化為:an+1=3an,
而a2=4a1,
∴數列{an}從第二項起是等比數列.
n≥2時,an=a2•3n-2=4×3n-2
∴an={1n=14×3n2n2
(2)n≥2時,Sn=12an+1-1=2×3n-1-1.
∵6n-m(Sn+1)≤18對n∈N*恒成立,
∴n=1時,6-2m≤18,解得m≥-6.
n≥2,6n-m(2×3n-1-1+1)≤18,化為:m≥3n93n1,
3n+193n-3n93n1=1n3n1<0,
∴數列{3n93n1}單調遞減,∴m≥-1.
綜上可得:m≥-1.

點評 本題考查了數列的遞推關系、等比數列的通項公式、數列的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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