Question

6．如圖，在三棱錐P-ABC中，直線PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又點Q，M，N分別是線段PB，AB，BC的中點，且點K是線段MN上的動點
（1）證明：直線QK∥平面PAC
（2）若PA=AB=BC=8，且K為MN的中點，求二面角Q-AK-M的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結QA，則QM∥PA，且MN∥AC，從而QM∥平面PAC，且MN∥平面PAC，進而平面QMN∥平面PAC，由此能證明線QK∥平面PAC．
（2）過M作MH⊥AK于H，連結QH，則∠QHM是二面角Q-AK-M的平面角，由此能求出二面角Q-AK-M的平面角的正切值．

解答 證明：（1）連結QA，∵點Q，M，N分別是線段PB，AB，BC的中點，
∴QM∥PA，且MN∥AC，
∴QM∥平面PAC，且MN∥平面PAC，
又∵MN∩QM=M，
∴平面QMN∥平面PAC，
∵QK?平面QMN，∴線QK∥平面PAC．
解：（2）過M作MH⊥AK于H，連結QH，
則∠QHM是二面角Q-AK-M的平面角，
在Rt△QMH中，tan∠OHM=$\frac{QM}{MH}=\frac{\frac{1}{2}PA}{MH}$=$\frac{4}{MH}$，
∵AK=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在△AMK中，由等面積法得：
S_△AMK=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{10}×MH$，
解得MH=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
∴tan$∠OHM=\frac{4}{MH}=\sqrt{10}$，
∴二面角Q-AK-M的平面角的正切值為$\sqrt{10}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．