Question

如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，則二面角B₁-AC-B的余弦值為（　�。�

• A、

  2

  3

• B、

  1

  3

• C、

  5

  5

• D、

  2 5

  5

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求平面B₁AC和平面ACB的法向量，求法向量夾角的余弦值，從而求出這兩個(gè)平面夾角的余弦值，而求平面B₁AC的法向量，根據(jù)法向量和平面內(nèi)的兩向量垂直求出即可．

解答： 解：如圖，分別以DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立D-xyz空間直角坐標(biāo)系，能確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
A（1，0，0），B₁（1，2，1），C（0，2，0），B（1，2，0）；
∴

AB1

=(0，2，1)，

B1C

=(-1，0，-1)，B₁B=（0，0，-1）；
設(shè)平面B₁AC的法向量為

m

=(x，y，z)，則

m • AB1 =2y+z=0 m • B1C =-x-z=0

，∴

y=- z 2 x=-z

；
∴可取

m

=(-2，-1，2)，

B1B

為平面ACB的法向量，設(shè)向量

m

，

B1B

的夾角為θ，則：
cosθ=

m • B1B

| m || B1B |

=-

2

3

，∴二面角B₁-AC-B的余弦值為

2

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：考查通過建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法求二面角的余弦值，法向量的概念，兩向量垂直的充要條件，共線向量基本定理，兩向量夾角的余弦公式．