Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，把此梯形繞其直角邊AD旋轉(zhuǎn)120°得到如圖所示的幾何體，點(diǎn)G是∠BDF平分線上任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)D），點(diǎn)M是弧

BF

的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BF⊥AG；
（Ⅱ）求三棱錐M-BDF的體積V_M-BDF．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AM交BF于點(diǎn)O，證明AM⊥BF，DA⊥BF，可得BF⊥平面ADM，從而BF⊥AG；
（Ⅱ）利用V_M-BDF=V_D-BMF，求三棱錐M-BDF的體積V_M-BDF．

解答： （Ⅰ）證明：連接AM交BF于點(diǎn)O，則
∵點(diǎn)M是弧

BF

的中點(diǎn)，
∴AM⊥BF且O為BF的中點(diǎn)，
∵DB=DF，
∴DO平分∠BDF，即點(diǎn)G在直線DO上，
∵DA⊥AB，DA⊥AF，AB∩AF=A，
∴DA⊥平面ABF，
∴DA⊥BF，
∵DA∩AM=A，
∴BF⊥平面ADM，
∵AG?平面ADM，
∴BF⊥AG；
（Ⅱ）解：由已知，AB=2，∠BAM=60°，∠AOB=90°，
∴AO=OM=1，BF=2

3

，
∴S_△BMF=

1

2

BF•OM=

3

，
∴V_M-BDF=V_D-BMF=

1

3

•

3

•2=

2 3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問題，考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱錐M-BDF的體積，屬于中檔題．