已知四棱錐P-ABCD的直觀圖及三視圖如圖所示．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）若E是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，求證：PA∥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角D-AP-B的余弦值．

【答案】分析：（Ⅰ）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PC⊥面ABCD，且PC=2，由錐體體積公式可求體積；
（Ⅱ）連接AC，交BD于點(diǎn)F，則F為AC中點(diǎn)，連接EF，利用EF∥PA，證明PA∥平面BDE；
（Ⅲ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD、CB、CP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出面PAD的法向量，面PAB的法向量，利用向量的夾角公式可得結(jié)論．
解答：解：由三視圖可知，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PC⊥面ABCD，且PC=2…（2分）
（Ⅰ）由錐體體積公式得=…（4分）
（Ⅱ）連接AC，交BD于點(diǎn)F，則F為AC中點(diǎn)，連接EF，
則EF為三角形PAC中位線，所以EF∥PA，
又PA?平面BDE，EF?平面BDE，∴PA∥平面BDE…（6分）
（Ⅲ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD、CB、CP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，1，0），A（1，1，0），
∴，…（8分）
設(shè)面PAD的法向量
由，可得，取
同理得面PAB的法向量…（10分）
∴==
∵二面角D-AP-B為鈍二面角
∴二面角的余弦值為…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖還原出立體圖形，考查線面偶像，考查面面角，考查利用空間向量的方法求解面面角，綜合性強(qiáng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點(diǎn)，AE與BD交于O點(diǎn)，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點(diǎn)，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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