Question

已知函數(shù)f（x）對于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y）．
（Ⅰ）求證：f（x）在R上是偶函數(shù)；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，且有f（2a²+a+1）＜f（-2a²+4a-3），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）對于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y），
令x=0，得f（0）=f（y）+f（-y），…（1分）
再令y=x，得f（0）=f（x）+f（-x）．…①…（2分）
令y=0，得f（0）=f（x）+f（x）．…②…（3分）
①-②得f（-x）-f（x）=0，…（4分）
∴f（-x）=f（x）．…（5分）
故f（x）在R上是偶函數(shù)．…（6分）
（Ⅱ）解：因為f（x）在R上是偶函數(shù)，
所以f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．…（7分）
又因為f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．…（8分）
∵，
-2a²+4a-3=-2（a²-2a+1-1）-3=-2（a-1）²-1＜0，
∴2a²-4a+3＞0．…（9分）
∵f（-2a²+4a-3）=f（2a²-4a+3）．
原不等式可化為f（2a²+a+1）＜f（2a²-4a+3）…（10分）
∴2a²+a+1＜2a²-4a+3．解之得a＜．…（11分）
故實數(shù)a的取值范圍是．…（12分）
分析：（Ⅰ）由題意利用賦值法：先令x=0，可得f（0）=f（y）+f（-y），然后再令y=x，得f（0）=f（x）+f（-x），利用賦值求出f（0）即可求證
（Ⅱ）由（I）知f（x）在R上是偶函數(shù)，及已知f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反可知f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，從而可求不等式
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的函數(shù)值的求解，解題的關(guān)鍵是利用賦值法，偶函數(shù)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性的應用，及利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，具有一定的綜合性