Question

如圖，灌溉渠的橫截面是等腰梯形，底寬2米，邊坡的長為x米、傾角為銳角.
(1)當且灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時，求x的最小正整數值；
(2)當x=2時，試求灌溉渠的橫截面面積的最大值.

Answer 1

（1）x的最小正整數值是3.
（2）灌溉渠的橫截面面積的最大值是.

解：由已知得等腰梯形的高為xsin，上底長為2+2xcos，從而橫截面面積S=(2+2+2xcos)·xsin=x²sincos+2xsin.
(1)當時，面積是(0,+∞)上的增函數，當x=2時，S=3<8；當x=3時，S=. 所以，灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時，x的最小正整數值是3.
(2)當x=2時，S=4sincos+4sin，S=4cos²-4sin²+4cos
=4(2cos²+cos-1)=4(2cos-1)·(cos+1)，由S=0及是銳角，得. 當0<<時，S>0，S是增函數；當<<時，S<0，S是減函數。所以，當=時，S有最大值.
綜上所述，灌溉渠的橫截面面積的最大值是.