Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點為，、是橢圓的左、右頂點，是橢圓上異于、的動點，且面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在一定點（），使得當過點的直線與曲線相交于，兩點時，為定值？若存在，求出定點和定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）定點為，定值為.

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的標準方程為（），由于面積的最大值為，可得，聯(lián)立，解得即可求出；

（2）首先利用特殊位置探究得到定點的坐標與定值，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理以及弦長的公式證明.

試題解析：（1）設橢圓的方程為（），由已知可得①，

∵為橢圓右焦點，∴②，

由①②可得，，

橢圓的方程為；

（2）過點取兩條分別垂直于軸和軸的弦，，

則，即，

解得，∴若存在必為，定值為3，

下證滿足題意，

設過點的直線方程為，代入中得：，設，，則，，

，綜上得定點為，定值為3.

考點：1.橢圓的標準方程及其性質；2.直線與橢圓相交弦長問題.