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設定義在R上的函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），當x=-1時f（x）取得極大值數學公式，且函數y=f（x）為奇函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）設數學公式，求證：數學公式．

（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ） 由f（x）為奇函數知 b=d=0…2′
又f′（-1）=0且f（-1）=∴f（x）=…4′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x2-1
∵，…6′
因為當時，f′（x）=x2-1＜0，即函數f（x）在上遞減∴，即…8′
又，…10′
又因為當時，f′（x）=x2-1＞0，即函數f（x）在上遞增；
當時，f′（x）=x2-1＜0，即函數f（x）在上遞減
∵，∴
∴，
即：…12′
∴…13′
分析：（Ⅰ）通過函數y=f（x）為奇函數，求出 b=d=0，當x=-1時f（x）取得極大值，導數為0，求出a，c，即可求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）求出函數的導數，求出xn的范圍，推出，類比求出，即，即可求證：．
點評：本題考查函數的導數的應用，導數的極值、單調性，函數的解析式的求法，以及不等式的證明．難度較大，考查轉化思想，計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若關于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，則x12+x22+x32=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，則f（5）=
2
2
；f（2011）=
3
2
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•順義區(qū)二模）設定義在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，f′（x）是f（x）的導函數．當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠
π
2
時，(x-
π
2
)f′(x)＜0．則函數y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數為
6
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）滿足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），當x∈[-
π
2
，
π
2
]時，0＜f（x）＜1；當x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0時，x•f′（x）＜0，則y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的交點個數是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）同時滿足以下條件：①f（x+1）=-f（x）對任意的x都成立；②當x∈[0，1]時，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然對數的底數，m是常數）．記f（x）在區(qū)間[2013，2016]上的零點個數為n，則（　�。�
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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