Question

在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P則△ABP與△ABC的面積之比大于

2

3

的概率是（　�。�

• A．

  1

  4

• B．

  2

  3

• C．

  1

  9

• D．

  1

  16

Answer 1

分析：作出與AB平行，且到AB的距離等于C到AB距離的

2

3

的線段DE，如圖所示．根據(jù)三角形面積公式，可得當(dāng)點(diǎn)P位于△ADE內(nèi)部時(shí)，△ABP與△ABC的面積之比大于

2

3

．由此利用相似三角形的性質(zhì)與幾何概型公式，即可算出△ABP與△ABC的面積之比大于

2

3

的概率．

解答：解：分別在AC、BC上取點(diǎn)，使AD=

2

3

AC且AE=

2

3

BC，連結(jié)DE．
∵

AD

AC

=

BE

BC

=

2

3

，
∴DE∥BC，且DE到AB的距離等于點(diǎn)C到AB距離的

2

3

．
因此當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)且在DE的上方時(shí)，S_△ABP＞

2

3

S_△ABC，
即點(diǎn)P位于△ADE內(nèi)部時(shí)，△ABP與△ABC的面積之比大于

2

3

．
根據(jù)幾何概型公式，可得所求概率等于△ADE的面積與△ABC的面積之比．
∵DE∥BC，

CD

CA

=

CE

CB

=

1

3

，
∴△ADE∽△ABC，可得

S△ADE

S△ABC

=(

CD

CA

)2=

1

9

，
因此，△ABP與△ABC的面積之比大于

2

3

的概率P=

1

9

．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P，求△ABP與△ABC的面積之比大于

2

3

的概率．著重考查了相似三角形的性質(zhì)三角形面積公式與幾何概型的計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．