Question

甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止．設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為

1

2

，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．求：
（Ⅰ）打滿4局比賽還未停止的概率；
（Ⅱ）比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的分布列與期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）令A(yù)_k，B_k，C_k分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝，由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式，能求出打滿4局比賽還未停止的概率．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式分別求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），P（ξ=6），由此能求出比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的分布列與期望Eξ．

解答： （本小題滿分14分）
解：令A(yù)_k，B_k，C_k分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝．
（Ⅰ）由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式知，
打滿4局比賽還未停止的概率為：
P（A₁C₂B₃A₄）+P（B₁C₂A₃B₄）=

1

24

+

1

24

=

1

8

．…（6分） （各3分）
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，
且P（ξ=2）=P（A₁A₂）+P（B₁B₂）=

1

22

+

1

22

=

1

2

，

P（ξ=3）=P（A₁C₂C₃）+P（B₁C₂C₃）=

1

23

+

1

23

=

1

4

，
P（ξ=4）=P（A₁C₂B₃B₄）+P（B₁C₂A₃A₄）=

1

24

+

1

24

=

1

8

，
P（ξ=5）=P（A₁C₂B₃A₄A₅）+P（B₁C₂A₃B_4^B5）=

1

25

+

1

25

=

1

16

，
P（ξ=6）=P（A₁C₂B₃A₄C₅）+P（B₁C₂A₃B₄C₅）=

1

25

+

1

25

=

1

16

，…（11分）
故ξ的布列為

ξ	2	3	4	5	6
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

∴Eξ=2×

1

2

+3×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

16

+6×

1

16

=

47

16

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，解題時(shí)要合理運(yùn)用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式．