Question

13．已知命題p：關(guān)于x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}，命題q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．
（1）如果p∧q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如果p∧q為真命題，則p和q都為真，進(jìn)而可得實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，進(jìn)而可得實數(shù)a的取值范圍；

解答 解：由關(guān)于x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}，
知0＜a＜1，
由函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R，知不等式ax²-x+a＞0的解集為R，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{1}{2}$．
（1）如果p∧q為真命題，則p和q都為真，
所以實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）．
（2）因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，
所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
故$\left\{\begin{array}{l}{a≤0，或\\;a≥1}\\{a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a∈（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，函數(shù)恒成立問題，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．