Question

在數列{a_n}中，a_n+1+a_n=2n-44（n∈N^*），a₁=-23．
（1）求a₃，a₅的值，
（2）設c_n=a_n+2-a_n（n∈N⁺），b_n=a_2n-1（n∈N⁺），S_n為數列{b_n}前n項和，求{c_n}的通項，并求S_n取最小時的n值．

Answer 1

解：（1）由a_n+1+a_n=2n-44（n≥1），
a_n+2+a_n+1=2（n+1）-44?a_n+2-a_n=2
又a₂+a₁=2-44?a₂=-19，
同理得：a₃=-21，a₄=-17，a₅=-19．（6分）
（2）由（1）得a_n+2-a_n=2，故c_n=2，
又b_n=a_2n-1（n∈N⁺），
由c_n=2得b_n是首項為-23，公差為2的等差數列．
從而b_n=2n-25，
令b_n≤0，b_n+1＞0，
得n=12時S_n取最小值．
分析：（1）由a_n+1+a_n=2n-44（n≥1），知a_n+2+a_n+1=2（n+1）-44，故a_n+2-a_n=2，由此能求出a₃，a₅的值．
（2）由a_n+2-a_n=2，知c_n=2，又b_n=a_2n-1（n∈N⁺），從而b_n=2n-25，令b_n≤0，b_n+1＞0，得n=12時S_n取最小值．
點評：本題考查求解數列中的某一項和通項公式的求法，及其當數列前n項和取最小值時項數n的求法，解題時要注意遞推公式的靈活運用．