【答案】
分析:(1)在平面BC
1D內(nèi)找到一條直線與已知直線AB
1平行,根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行,而找平行的方法一般是找三角形的中位線或找平行四邊形.
(2)根據(jù)題中的垂直關系表達出四棱錐的體積進而得到等式求出BC的數(shù)值,結(jié)合這題中的線面垂直關系作出二面角,再證明此角就是所求角然后求出即可.
解答:解:
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(1)證明:連接B
1C,設B
1C與BC
1相交于點O,連接OD,
∵四邊形BCC
1B
1是平行四邊形,
∴點O為B
1C的中點.
∵D為AC的中點,
∴OD為△AB
1C的中位線,
∴OD∥AB
1.
∵OD?平面BC
1D,AB
1?平面BC
1D,
∴AB
1∥平面BC
1D.
(2)解:依題意知,AB=BB
1=2,
∵AA
1⊥平面ABC,AA
1?平面AA
1C
1C,
∴平面ABC⊥平面AA
1C
1C,且平面ABC∩平面AA
1C
1C=AC.
作BE⊥AC,垂足為E,則BE⊥平面AA
1C
1C,
設BC=a,
在Rt△ABC中,
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,

,
∴四棱錐B-AA
1C
1D的體積
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=
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=a.
依題意得,a=3,即BC=3.
∵AB⊥BC,AB⊥BB
1,BC∩BB
1=B,BC?平面BB
1C
1C,BB
1?平面BB
1C
1C,
∴AB⊥平面BB
1C
1C.
取BC的中點F,連接DF,則DF∥AB,且
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.
∴DF⊥平面BB
1C
1C.
作FG⊥BC
1,垂足為G,連接DG,
由于DF⊥BC
1,且DF∩FG=F,
∴BC
1⊥平面DFG.
∵DG?平面DFG,
∴BC
1⊥DG.
∴∠DGF為二面角C-BC
1-D的平面角.
由Rt△BGF~Rt△BCC
1,得
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,
得

,
在Rt△DFG中,
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=
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.
∴二面角C-BC
1-D的正切值為
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.
點評:解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結(jié)構便于利用題中的線面、線線關系解決空間角、空間距離與幾何體的體積等問題.