已知數(shù)學公式,x∈R.
(1)求f(x)的表達式;
(2)若方程數(shù)學公式有兩個不相等的實數(shù)根α,β,求αβ的值;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)-a在x∈[1,e]上有零點,求實數(shù)a的取值范圍.

解:(1)令t=ex時,則x=lnt,t>0,
,x∈R
,

(2)由可得,3ln2x+4lnx-3=0.
∵方程有兩個不相等的實數(shù)根α,β
,故
(3)函數(shù)g(x)=f(x)-a在[1,e]上有零點,等價于f(x)=a在(1,e]上有解.
①當x=1時,f(x)=0;
②當x∈(1,e]時,lnx∈(0,1],則
∵lnx∈(0,1],
,當且僅當lnx=1,即x=e時取等號,
因而
綜上,故

 


分析:解(1)令t=ex時,則x=lnt,t>0,根據(jù),x∈R,可求f(x)的表達式;
(2)由可得,3ln2x+4lnx-3=0,利用方程有兩個不相等的實數(shù)根α,β,可得,從而可求αβ的值;
(3)函數(shù)g(x)=f(x)-a在[1,e]上有零點,等價于f(x)=a在(1,e]上有解.分類討論:①當x=1時,f(x)=0;②當x∈(1,e]時,lnx∈(0,1],則,利用基本不等式可求,從而可得實數(shù)a的取值范圍.
點評:本題以函數(shù)為載體,考查函數(shù)的解析式,考查函數(shù)與方程的關系,同時考查基本不等式的運用,解題時將函數(shù)g(x)=f(x)-a在[1,e]上有零點,轉(zhuǎn)化為f(x)=a在(1,e]上有解是關鍵.
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已知M={x∈R|
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(1)求f(x)的表達式;
(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根α,β,求αβ的值;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)-a在x∈[1,e]上有零點,求實數(shù)a的取值范圍.

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(Ⅰ)求實數(shù)a的值所組成的集合A;

(Ⅱ)設關于x的方程的兩實數(shù)根為x1、x2,試問:是否存在實數(shù)m,使得不等式對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由?

 

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