Question

已知，x∈R．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根α，β，求αβ的值；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-a在x∈[1，e]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令t=e^x時，則x=lnt，t＞0，
∵，x∈R
∴，
即
（2）由可得，3ln²x+4lnx-3=0．
∵方程有兩個不相等的實數(shù)根α，β
∴，故
（3）函數(shù)g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零點，等價于f（x）=a在（1，e]上有解．
①當x=1時，f（x）=0；
②當x∈（1，e]時，lnx∈（0，1]，則，
∵lnx∈（0，1]，
∴，當且僅當lnx=1，即x=e時取等號，
因而．
綜上，故

 

分析：解（1）令t=e^x時，則x=lnt，t＞0，根據(jù)，x∈R，可求f（x）的表達式；
（2）由可得，3ln²x+4lnx-3=0，利用方程有兩個不相等的實數(shù)根α，β，可得，從而可求αβ的值；
（3）函數(shù)g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零點，等價于f（x）=a在（1，e]上有解．分類討論：①當x=1時，f（x）=0；②當x∈（1，e]時，lnx∈（0，1]，則，利用基本不等式可求，從而可得實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)與方程的關系，同時考查基本不等式的運用，解題時將函數(shù)g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零點，轉(zhuǎn)化為f（x）=a在（1，e]上有解是關鍵．