Question

已知M是曲線y=1nx+

1

2

x2+(1-a)x上的一點，若曲線在M處的切線的傾斜角是均不小于

π

4

的銳角，則實數a的取值范圍是

a≤2

．

Answer 1

分析：曲線在M處的切線的傾斜角是均不小于

π

4

的銳角，則曲線在M點處的切線的不小于1，即曲線在M點處的導函數值不小于1，根據函數的解析式，求出導函數的解析式，構造關于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：設M（x，y），f（x）=1nx+

1

2

x2+(1-a)x
∵f（x）=1nx+

1

2

x2+(1-a)x
∴f′（x）=

1

x

+x+（1-a）≥3-a
∵曲線在M處的切線的傾斜角是均不小于

π

4

的銳角，
∴3-a≥1
∴a≤2
故答案為：a≤2

點評：本題考查的知識點是直線的傾斜角，利用導數研究曲線上某點的切線方程，其中利用基本不等式構造關于a的不等式是解答本題的關鍵．