Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）不是，理由見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，換元后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)值域?yàn)?/span>，故不存在；（2）依題意有，即，令換元后分離參數(shù)，利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求得實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，，令，∵，∴，；

∵在上單調(diào)遞增，∴，即在上的值域?yàn)?/span>，

故不存在常數(shù)，使成立．∴函數(shù)在上不是有界函數(shù)．…………………………6分

（2）由題意知，對(duì)恒成立，

即：，令，∵，∴．

∴對(duì)恒成立，∴，

設(shè)，，由，

由于在上遞增，在上遞減，

在上的最大值為，

在上的最小值為．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．……………………12分