Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴-2ax²，a∈R．
（1）當a≤0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a＜x＜2a時，函數(shù)f（x）存在極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數(shù)，當a≤0時，令f'（x）＜0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；f'（x）＞0，可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當a＞0時，令f'（x）=0，得x=0或x=±，再確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）存在極小值，即可確定a的取值范圍．
解答：解：（1）由題設(shè)知f'（x）=4x³-4ax，
令 f'（x）=0，得4x（x²-a）=0，當a≤0時，得x=0，
x＜0時，f'（x）＜0；x＞0時，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）；單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
（2）∵a＜x＜2a，∴a＞0．
當a＞0時，令f'（x）=0，得x=0或x=±，
列表如下：

x	（-∞，-）	（-，0）	（0，）	（，+∞）
f'（x）	-	+	-	+
f（x）	遞減	遞增	遞減	遞增

得x=-或x=時，f（x）_極小=f（±）=-a²．
取x=-，由條件得 a＜-＜2a，無解．
取x=，由條件得 a＜＜2a，解得＜a＜1．
綜合上述：＜a＜1．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，正確求導、確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．