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11.如圖,已知A1A⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面A1B1BA;
(2)求證:平面AEA1⊥平面BCB1;
(3)求幾何體ABCA1B1的體積.

分析 (1)連結(jié)A1B,根據(jù)中位線定理可得EF∥A1B,故而有EF∥平面A1B1BA;
(2)由A1A⊥平面ABC,BB1∥AA1可得B1B⊥平面ABC,故B1B⊥AE,由等腰三角形三線合一可得BC⊥AE,于是AE⊥平面B1BC,從而得出平面AEA1⊥平面BCB1;
(3)將幾何體分解成兩個(gè)小三棱錐A1-B1BC和A1-ABC求體積.

解答 證明:(1)連結(jié)A1B,在△A1BC中,
∵點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn),
∴EF∥A1B,∵EF?平面平面A1B1BA,A1B?平面A1B1BA,
∴EF∥平面A1B1BA.
(2)∵AB=AC,E為BC的中點(diǎn),∴AE⊥BC.
∵A1A⊥平面ABC,BB1∥AA1,
∴B1B⊥平面ABC,∵AE?平面ABC,
∴B1B⊥AE.又∵B1B?平面B1BC,BC?平面B1BC,B1B∩BC=B,
∴AE⊥平面B1BC,∵AE?平面AEA1
∴平面AEA1⊥平面BCB1
(3)∵AC=3,CE=12BC=5,∴AE=AC2CE2=2.
∴三棱錐A1-B1BC的體積V1=13×12×BC×B1B×AE=13×12×25×27×2=4353
三棱錐A1-ABC的體積V2=13×12×BC×AE×7=13×12×25×2×7=2353
∴幾何體ABCA1B1的體積V=V1+V2=4353+2353=235

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的性質(zhì),線面平行,面面垂直的判定,棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

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