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已知a、b、c均為實數，證明ac＜0是關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件．

答案：
解析：

　　證明：(1)充分性：若＜0，則Δ＝b2－4ac＞0，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異的實根，設為x1、x2．

　　∵ac＜0，∴x1·x2＝＜0，即x1、x2的符號相反，方程有一個正根和一個負根．

　　(2)必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一個正根和一個負根，設為x1、x2，不妨設x1＜0，x2＞0，則x1x2＝ca＜0，∴＜0．

　　由(1)(2)知ac＜0是方程ax2＋bx＋c＝0有一個正根和一個負根的充要條件．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均為實常數，且a≠0），滿足條件f（0）=f（2）=0，且方程f（x）=2x有兩個相等的實數根．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）試確定一個區(qū)間P，使得f（x）在P內單調遞減且不等式f（x）≥0在P內恒成立；
（3）是否存在這樣的實數m、n，滿足m＜n，使得f（x）在區(qū)間[m，n]內的取值范圍恰好是[4m，4n]？如果存在，試求出m、n的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均為實常數，且a≠0），滿足條件f（0）=f（2）=0，且方程f（x）=2x有兩個相等的實數根．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）試確定一個區(qū)間P，使得f（x）在P內單調遞減且不等式f（x）≥0在P內恒成立；
（3）是否存在這樣的實數m、n，滿足m＜n，使得f（x）在區(qū)間[m，n]內的取值范圍恰好是[4m，4n]？如果存在，試求出m、n的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均為實常數，且a≠0），滿足條件f（0）=f（2）=0，且方程f（x）=2x有兩個相等的實數根．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）試確定一個區(qū)間P，使得f（x）在P內單調遞減且不等式f（x）≥0在P內恒成立；
（3）是否存在這樣的實數m、n，滿足m＜n，使得f（x）在區(qū)間[m，n]內的取值范圍恰好是[4m，4n]？如果存在，試求出m、n的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省汕頭市潮陽一中高一（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均為實常數，且a≠0），滿足條件f（0）=f（2）=0，且方程f（x）=2x有兩個相等的實數根．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）試確定一個區(qū)間P，使得f（x）在P內單調遞減且不等式f（x）≥0在P內恒成立；
（3）是否存在這樣的實數m、n，滿足m＜n，使得f（x）在區(qū)間[m，n]內的取值范圍恰好是[4m，4n]？如果存在，試求出m、n的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（09年湖北百所重點聯考文）已知方程的兩個不等實根均大于2，則實數a的取值范圍為    （    ）

    A． B． C．（4，9）  D．（8，9）

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