Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

n

3

an，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1=2a_n+3，整理可得a_n+1+3=2（a_n+3），即可證明數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，從而可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）分組，再利用錯位相減法，即可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：（1）證明：因為S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
則a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，
所以a_n+1+3=2（a_n+3），
因為n=1時，a₁=S₁=2a₁-3，所以a₁=3，所以a₁+3=6，
所以數(shù)列{a_n+3}是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列；
所以a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3；
（2）解：b_n=

n

3

an=n•2ⁿ-n，則T_n=（1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）
令T_n′=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，則2T_n′=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-T_n′=1•2¹+1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n′=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．

點評：本題考查了數(shù)列的遞推式，等比關(guān)系的確定，等比數(shù)列通項公式，考查錯位相減法，屬于中檔題．