Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，求平面ADC₁與ABA₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，連接DE，則DE∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面ADC₁．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．利用向量法能求出平面ADC₁與ABA₁所成二面角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，
則點(diǎn)E是A₁C及AC₁的中點(diǎn)．
連接DE，則DE∥A₁B．
因?yàn)镈E?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
C₁（0，1，2）D（

1

2

，

1

2

，0），

AD

=（

1

2

，

1

2

，0），

AC1

=（0，1，2）．…（6分）
設(shè)平面ADC₁的法向量

m

=（x，y，z），
則

1 2 x+ 1 2 y=0 y+2z=0

，不妨取

m

=（2，-2，1）．…（9分）
平面ABA₁的一個(gè)法向量

n

=

AC

=（0，1，0）．…（10分）
|cos＜

m

，

n

＞|=|

-2

3

|=

2

3

，
設(shè)平面ADC₁與ABA₁所成二面角的平面角為θ，
sinθ=

1-( 2 3 )2

=

5

3

．
∴平面ADC₁與ABA₁所成二面角的正弦值是

5

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．