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20.在△ABC中,a、b、c分別為A、B、C的對邊,a=6,b=4,cosAsin(A+B)-sin2A=0.
(1)求c的值;
(2)求△ABC的面積.

分析 (1)根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,結(jié)合正弦定理進(jìn)行求解即可求c的值;
(2)根據(jù)余弦定理求出cosB,結(jié)合三角形的面積公式即可求△ABC的面積.

解答 解:(1)在△ABC中,由cosAsin(A+B)-sin2A=0得cosAsinC-2sinAcosA=0,
即cosA(sinC-2sinA)=0,
則cosA=0,或sinC=2sinA,
由cosA=0得A=\frac{π}{2}
∵a=\sqrt{6},b=4,
∴A<B,此時A=\frac{π}{2}不成立,
由sinC=2sinA,得c=2a=2\sqrt{6};
(2)∵a=\sqrt{6},b=4,c=2\sqrt{6};
∴cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=\frac{6+24-16}{2\sqrt{6}×2\sqrt{6}}=\frac{7}{12},
則sinB=\sqrt{1-(\frac{7}{12})^{2}}=\frac{\sqrt{95}}{12}
則△ABC的面積S=\frac{1}{2}bcsinB=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{95}}{12}=\frac{\sqrt{570}}{3}

點(diǎn)評 本題主要考查解三角形的應(yīng)用,根據(jù)正弦定理和余弦定理是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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