Question

已知直角三角形的周長為2，則此直角三角形的面積的最大值為

3-2

2

．

Answer 1

分析：設直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因為L=a+b+c，c=

a2+b2

，兩次運用均值不等式即可求解．

解答：解：直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，面積為s，周長L=2，
由于a+b+

a2+b2

=L≥2

ab

+

2ab

．（當且僅當a=b時取等號）
∴

ab

≤

L

2+ 2

．
∴S=

1

2

ab≤

1

2

（

L

2+ 2

）²
=

1

2

•[

(2- 2 )L

2

]²=

3-2 2

4

L²=3-2

2

．
故答案為：3-2

2

．

點評：利用均值不等式解決實際問題時，列出有關量的函數關系式或方程式是均值不等式求解或轉化的關鍵．