Question

【題目】如圖，已知橢圓，點(diǎn)B是其下頂點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線交橢圓C于另一點(diǎn)A（A點(diǎn)在軸下方），且線段AB的中點(diǎn)E在直線上.

（1）求直線AB的方程；

（2）若點(diǎn)P為橢圓C上異于A、B的動點(diǎn)，且直線AP,BP分別交直線于點(diǎn)M、N，證明：OM·ON為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）兩點(diǎn)確定一條直線，所以只需再確定A點(diǎn)坐標(biāo)即可，這可利用A在橢圓上及AB中點(diǎn)在直線上聯(lián)立方程組解得：A（，），從而根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線AB的方程為．

（2）本題涉及的條件為坐標(biāo)，所以用分別表示M點(diǎn)、N點(diǎn)坐標(biāo)就是解題方法：由A，P，M三點(diǎn)共線，又點(diǎn)M在直線y=x上，解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由B，P，N三點(diǎn)共線，點(diǎn)N在直線y=x上，，解得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)．所以OM·ON==＝2

=，又，所以OM·ON====．

試題解析：解：（1）設(shè)點(diǎn)E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．

代入橢圓方程得，即，

解得或（舍）． 3分

所以A（，），

故直線AB的方程為． 6分

（2）設(shè)，則，即．

設(shè),由A，P，M三點(diǎn)共線，即，

∴，

又點(diǎn)M在直線y=x上，解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 9分

設(shè)，由B，P，N三點(diǎn)共線，即，

∴，

點(diǎn)N在直線y=x上，，解得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 12分

所以OM·ON==＝2

====． 16分