Question

（本小題滿分13分）
為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.
（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求
①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率
②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望;
（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.

Answer 1

(1)  ,參考解析;(2)參考解析

試題分析：(1)由袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元,又規(guī)定每位顧客從
一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額..由獲得60元的事件數(shù)除以總的事件數(shù)即可. 顧客獲得獎(jiǎng)勵(lì)有兩種情況20元,60元.分別計(jì)算出他們的概率,再利用數(shù)學(xué)期望的公式即可得結(jié)論.
(2) 根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)為60元.根據(jù)題意有兩種獲獎(jiǎng)勵(lì)的情況,確定符合題意的方案,分別僅有一種.再分別計(jì)算出兩種方案相應(yīng)的概率以及求出數(shù)學(xué)期望和方差.即可得到結(jié)論.
試題解析：(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)為X. ①依題意,得.即顧客所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為.
②依題意,得X的所有可能取值為20,60. .即X的分布列為

X	20	60
P	0.5	0.5

所以顧客所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為（元）.
(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)為60元.所以先尋找期望為60元的可能方案.對(duì)于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以數(shù)學(xué)期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析:對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)為,則的分布列為

	20	60	100

的期望為,的方差為.
對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)為,則的分布列為

	40	60	80

的期望為, 的方差為.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.