Question

(2014·貴陽(yáng)模擬)一個(gè)幾何體是由圓柱ADD1A1和三棱錐E-ABC組合而成,點(diǎn)A,B,C在圓O的圓周上,其正(主)視圖,側(cè)(左)視圖的面積分別為10和12,如圖所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC.AE=2.

(1)求證：AC⊥BD.

(2)求三棱錐E-BCD的體積.

 

Answer 1

（1）見解析 （2）

【解析】(1)因?yàn)镋A⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.

又因?yàn)锳C⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.

因?yàn)锽D?平面EBD,所以AC⊥BD.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C在圓O的圓周上,且AB⊥AC,所以BC為圓O的直徑.

設(shè)圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據(jù)正(主)視圖,側(cè)(左)視圖的面積可得,

解得

所以BC=4,AB=AC=2.

以下給出求三棱錐E-BCD體積的兩種方法：

方法一：由(1)知,AC⊥平面EBD,

所以VE-BCD=VC-EBD=S△EBD×CA,

因?yàn)镋A⊥平面ABC,AB?平面ABC,

所以EA⊥AB,即ED⊥AB.

其中ED=EA+DA=2+2=4,

因?yàn)锳B⊥AC,AB=AC=2,

所以S△EBD=ED×AB=×4×2=4,

所以VE-BCD=×4×2=.

方法二：因?yàn)镋A⊥平面ABC,

所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=S△ABC×EA+

S△ABC×DA=S△ABC×ED.

其中ED=EA+DA=2+2=4,

因?yàn)锳B⊥AC,AB=AC=2,

所以S△ABC=×AC×AB=×2×2=4,

所以VE-BCD=×4×4=.