Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n的圖象過點(diǎn)（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求f（x）與g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到一個(gè)方程；利用函數(shù)滿足的等式得到函數(shù)的對(duì)稱軸，據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式列出方程求出m，n；求出f（x）的解析式；利用相關(guān)點(diǎn)法求出g（x）的解析式．
（2）利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，列出恒成立的不等式，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值

解答：解：（1）由題意知：1+m+n=3對(duì)稱軸為x=-1故-

m

2

=-1
解得m=2，n=0，
∴f（x）=x²+2x，
設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上的任意一點(diǎn)Q（x₀，y₀）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，y），
則x₀=-x，y₀=-y，因?yàn)辄c(diǎn)Q（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，
∴-y=x²-2x，
∴y=-x²+x，
∴g（x）=-x²+2x．
（2）F（x）=-x²+2x-λ（x²+2x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x
∵F（x）在（-1，1]上是增函且連續(xù)，F(xiàn)'（x）=-2（1+λ）x+2（1-λ）≥0
即λ≤

1-x

1+x

=

2

1+x

-1在（-1，1]上恒成立，
由

2

1+x

-1在（-1，1]上為減函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范圍是（-∞，0]，

點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法、直接法、函數(shù)單調(diào)求參數(shù)的范圍、解決不等式恒成立．