Question

已知函數f（x）=x²+mx+n的圖象過點（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）對任意實數都成立，函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于原點對稱．
（1）求f（x）與g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將點的坐標代入函數解析式得到一個方程；利用函數滿足的等式得到函數的對稱軸，據二次函數的對稱軸公式列出方程求出m，n；求出f（x）的解析式；利用相關點法求出g（x）的解析式．
（2）利用函數在區(qū)間上單調，則導函數大于等于0恒成立，列出恒成立的不等式，分離參數，轉化成求函數的最值

解答：解：（1）由題意知：1+m+n=3對稱軸為x=-1故-

m

2

=-1
解得m=2，n=0，
∴f（x）=x²+2x，
設函數y=f（x）圖象上的任意一點Q（x₀，y₀）關于原點的對稱點為P（x，y），
則x₀=-x，y₀=-y，因為點Q（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，
∴-y=x²-2x，
∴y=-x²+x，
∴g（x）=-x²+2x．
（2）F（x）=-x²+2x-λ（x²+2x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x
∵F（x）在（-1，1]上是增函且連續(xù)，F(xiàn)'（x）=-2（1+λ）x+2（1-λ）≥0
即λ≤

1-x

1+x

=

2

1+x

-1在（-1，1]上恒成立，
由

2

1+x

-1在（-1，1]上為減函數，
當x=1時取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范圍是（-∞，0]，

點評：本題考查求函數解析式的方法：待定系數法、直接法、函數單調求參數的范圍、解決不等式恒成立．