Question

在周長為16的△PMN中，MN=6，則

PM

•

PN

的最小值是

7

．

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積公式表示出向量的數(shù)量積；利用三角形的余弦定理求出向量的夾角余弦；通過PM的范圍，求出二次函數(shù)的對稱軸，然后求出數(shù)量積的最小值．

解答：解：設(shè)PM=x，則PN=10-x，∠MPN=θ
所以

PM

•

PN

=x（10-x）cosθ，
在△PMN中，由余弦定理得cosθ=

(10-x)2+x2-36

2(10-x)x

∴

PM

•

PN

=x²-10x+32（2≤x≤8）
y=x²-10x+32的對稱軸為x=5
當(dāng)x=5時

PM

•

PN

最小值為7，
故答案為：7．

點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、三角形的余弦定理、二次函數(shù)的最值求法．考查計算能力．