Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，f（x）的最小值為-4，函數(shù)f（x）的圖象與x軸交點A，B的距離為4．
（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式；      
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]的最大值g（t）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法，設出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸交點A，B的距離為4，即可求得二次函數(shù)f（x）的解析式；      
（2）結(jié)合函數(shù)的對稱軸，分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間[t，t+2]上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]的最大值g（t）．

解答：解：（1）∵f（x）的最小值為-4，∴可設f（x）=a（x-h）²-4（a＞0）…（2分）
∴f（x+1）=a（x+1-h）²-4
∵函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)
∴函數(shù)f（x+1）的對稱軸為x=h-1=0
∴h=1          …（4分）
∴f（x）=a（x-1）²-4
由f（x）=a（x-1）²-4=0，可得x₁=1-

4 a

，x₂=1+

4 a

，
∴A、B的距離為|x₁-x₂|=2

4 a

=4
∴a=1
∴f（x）=（x-1）²-4…（6分）
（2）∵f（x）=（x-1）²-4，∴
①t≥1時，f（x）在區(qū)間[t，t+2]上遞增，∴f（x）|_max=f（t+2）=t²+2t-3…（7分）
②0≤t＜1時，f（x）在區(qū)間[t，1]上遞減，在[1，t+2]上遞增，∴f（x）|_max=f（t+2）=t²+2t-3…（8分）
③-1≤t＜0時，f（x）在區(qū)間[t，1]上遞減，在[1，t+2]上遞增，∴f（x）|_max=f（t）=t²-2t-3…（9分）
④t＜-1時，f（x）在區(qū)間[t，t+2]上遞減，∴f（x）|_max=f（t）=t²-2t-3…（10分）
綜上述，g（t）=

t2+2t-3，t≥0 t2-2t-3，t＜0

…（12分）

點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查待定系數(shù)法的運用，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．