Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA的值；
（2）若a=1，cosB+cosC=

3

2

，求邊c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，并根據(jù)sinA的值不為0，即可求出cosA的值；
（2）由第一問求出的cosA的值及A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進而得出B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入已知的等式中，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出sin（B+

π

6

）的值，由A的度數(shù)求出B+

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值得出B的度數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求出c的值．

解答：解：（1）由2acosA=ccosB+bcosC及正弦定理得：
2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C），（4分）
又B+C=π-A，
所以有2sinAcosA=sin（π-A），即2sinAcosA=sinA．
而sinA≠0，所以cosA=

1

2

；…（6分）
（2）由cosA=

1

2

及0＜A＜π，可得：A=

π

3

，
∴B+C=π-A=

2π

3

，
由cosB+cosC=

3

2

，得cosB+cos(

2π

3

-B)=

3

2

，
即cosB-

1

2

cosB+

3

2

sinB=

3

2

，
可得：sin(B+

π

6

)=

3

2

，…（8分）
由A=

π

3

，知B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
于是B+

π

6

=

π

3

或B+

π

6

=

2π

3

，
所以B=

π

6

或B=

π

2

，…（10分）
若B=

π

6

，則C=

π

2

，
在直角△ABC中，sin

π

3

=

1

c

，
解得：c=

2 3

3

；
若B=

π

2

，在直角△ABC中，tan

π

3

=

1

c

，
解得：c=

3

3

．…（12分）

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．