Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，A1A=2

2

，設E，F(xiàn)分別是BD，C₁C的中點．
（1）求證：A₁C⊥平面BEF；
（2）求二面角A₁-BF-E的大小．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，分別求出

A1C

，

BE

，

BF

，根據(jù)

A1C

•

BE

=0，

A1C

•

BF

=0可得A₁C⊥BE，A₁C⊥BF，結合線面垂直的判定定理可得A₁C⊥平面BEF；
（2）由（1）可得

A1C

=（2，2，-2

2

）是平面BEF的一個法向量，出平面A₁BF的一個法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A₁-BF-E的大�。�

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，A1A=2

2

，設E，F(xiàn)分別是BD，C₁C的中點
∴A（0，0，0），A₁（0，0，2

2

），B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，1，0），F(xiàn)（2，2，

2

），
∴

A1C

=（2，2，-2

2

），

BE

=（-1，1，0），

BF

=（0，2，

2

），
∵

A1C

•

BE

=0，

A1C

•

BF

=0
∴A₁C⊥BE，A₁C⊥BF，
又∵BE∩BF=B
∴A₁C⊥平面BEF；
（2）由（1）可得

A1C

=（2，2，-2

2

）是平面BEF的一個法向量
且

A1B

=（2，0，-2

2

），
設向量

m

=（a，b，c）是平面A₁BF的一個法向量
則

m • A1B =0 m • BF =0

即

2a-2 2 c=0 2b+ 2 c=0

令c=2，則

m

=（2

2

，-

2

，2）是平面A₁BF的一個法向量
令銳二面角A₁-BF-E的平面角為θ
則cosθ=

| m • A1C |

| m |•| A1C |

=

2 2

4• 14

=

7

14

故二面角A₁-BF-E的大小為arccos

7

14

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中建立空間坐標系，將空間線面關系及二面角的大小轉化為向量垂直及夾角問題是解答的關鍵．