Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
（1）若點（n，S_n）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且f（x）=3x²-2x，求{a_n}的通項公式；
（2）若a₁=a₂=1，且=λ（0＜λ＜1，n=2，3，4…），證明：＜（常數(shù)k∈N^*且k≥3）

Answer 1

解：（1）由題得：s_n=3n²-2n．
故當(dāng)n=1時，a₁=s₁=1
當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=6n-5
由于當(dāng)n=1時，6n-5=1也成立
所以a_n=6n-5
（2）令，由已知有 b₁=1，b_n=λb_n-1
所以{b_n}是等比數(shù)列，b_n=λ^n-1 即 =λ^n-1．
∴=
∴a_n=．
∴==
∴=•[λ^k+λ^2k+…+λ^nk]
=•（1-λ^nk）•．
∵0＜λ＜1，k≥3
∴0＜1-λ^nk＜1，0＜≤1，0＜•（1-λ^nk）＜1
∴=•（1-λ^nk）•＜．
即結(jié)論成立．
分析：（1）先利用點（n，S_n）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且f（x）=3x²-2x，求出數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n；再利用已知前n項和求通項公式的方法即可求{a_n}的通項公式；
（2）先利用=λ求得 =λ^n-1；再利用疊乘法求得數(shù)列{a_n}的通項公式；代入所求問題整理后再借助于0＜λ＜1以及常數(shù)k∈N^*且k≥3即可證明結(jié)論．
點評：本題主要考查數(shù)列遞推式以及數(shù)列與不等式的綜合問題．解決第二問的關(guān)鍵在于利用疊乘法求得數(shù)列{a_n}的通項公式．