Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，離心率e=

2

2

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O：x²+y²=

2

3

與直線AB相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l：y=k（x-2）（k≠0）與橢圓C相交于E、F兩不同點(diǎn)，若橢圓C上一點(diǎn)P滿足OP∥l．求△EPF面積的最大值及此時(shí)的k²．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出直線AB的方程為：

x

a

+

y

b

=1，利用圓O與直線AB相切，列出關(guān)系式，設(shè)橢圓的半焦距為c，通過b²+c²=a²，利用離心率，求出a，b，得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）了直線與橢圓方程，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，以及弦長公式，點(diǎn)到直線的距離，求出S△EPF=S△EOF=

1

2

|EF|d=2

2

k2(1-2k2) (1+2k2)2

分離常數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，求解△EPF的面積的最大值，以及k的中．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，直線AB的方程為：

x

a

+

y

b

=1，即為bx+ay-ab=0
因?yàn)閳AO與直線AB相切，所以

|ab|

b2+a2

=

2 3

，

a2b2

b2+a2

=

2

3

…①…（2分）
設(shè)橢圓的半焦距為c，因?yàn)閎²+c²=a²，e=

c

a

=

2

2

，
所以

a2-b2

a2

=

1

2

…②…（3分）
由①②得：a²=2，b²=1
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

2

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）由

x2 2 +y2=1 y=k(x-2)

可得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）
則x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

…（7分）
所以|EF|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

8-16k2 (1+2k2)2

又點(diǎn)O到直線EF的距離d=

|2k|

1+k2

，
∵OP∥l，∴S△EPF=S△EOF=

1

2

|EF|d=2

2

k2(1-2k2) (1+2k2)2

…（10分）
又因?yàn)?span id="20aaoki" class="MathJye">△=8-16k2＞0⇒k2＜

1

2

，又k≠0，∴0＜k2＜

1

2

令t=1+2k²∈（1，2），則

k2(1-2k2)

(1+2k2)2

=-

1

2

-

1

t2

+

3

2t

=-(

1

t

-

3

4

)2+

1

16

，
所以當(dāng)t=

4

3

，k2=

1

6

時(shí)，

k2(1-2k2)

(1+2k2)2

最大值為

1

16

所以當(dāng)k2=

1

6

時(shí)，△EPF的面積的最大值為

2

2

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，直線與圓的我最關(guān)心，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．