Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）對于函數(shù)，，，若對于區(qū)間上的任意一個，都有，則稱函數(shù)是函數(shù)，在區(qū)間上的一個“分界函數(shù)”.已知，，問是否存在實數(shù)，使得函數(shù)是函數(shù)，在區(qū)間上的一個“分界函數(shù)”？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)：，再根據(jù)函數(shù)有且只有一個極值點，得在區(qū)間上有且只有一個零點，最后結(jié)合二次函數(shù)實根分布得，解得實數(shù)的取值范圍是；（Ⅱ）由題意得當(dāng)時，恒成立，

且恒成立，即問題為恒成立問題，解決方法為轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：記，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)變化規(guī)律，確定其最大值：當(dāng)時， 單調(diào)遞減，最大值為，由，解得；當(dāng)時，最大值為正無窮大，即在區(qū)間上不恒成立，同理記，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)變化規(guī)律，確定其最小值：由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，其最小值為，得.

試題解析：（1），

記，

依題意，在區(qū)間上有且只有一個零點，

∴，得實數(shù)的取值范圍是；………………………………5分

（Ⅱ）若函數(shù)是函數(shù)，在區(qū)間上的一個“分界函數(shù)”，

則當(dāng)時，恒成立，

且恒成立，…………………………………………6分

記，

則，

若，即：

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，

∴，解得；…………………………………………8分

若，即：

的圖象是開口向上的拋物線，

存在，使得，

從而，在區(qū)間上不會恒成立，…………………10分

記，

則，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

由恒成立，得，得.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)是函數(shù)，在區(qū)間上的一個“分界函數(shù)”. 13分