Question

9．已知函數(shù)f_n（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且f_n（-1）=（-1）ⁿn，n∈N^*，設(shè)函數(shù)g（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{g（\frac{n}{2}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，若b_n=g（2ⁿ+4），n∈N^*，則數(shù)列{b_n}的前n（n≥2）項和S_n等于$\left\{\begin{array}{l}{6，n=2}\\{{2}^{n}+n，n≥3}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)，求得b_n=a${\;}_{{2}^{n-2}+1}$，再由函數(shù)f_n（x），求得n=1時，a₁=1，將n換為n-1，作差可得a_n=2n-1，進(jìn)而得到
b_n=2^n-1+1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：由函數(shù)g（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{g（\frac{n}{2}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
可得b_n=g（2ⁿ+4）=g（2^n-1+2）=g（2^n-2+1）=a${\;}_{{2}^{n-2}+1}$，
由函數(shù)f_n（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且f_n（-1）=（-1）ⁿn，
可得-a₁+a₂-a₃+…+a_n（-1）ⁿ=（-1）ⁿn，①
n=1時，-a₁=-1，可得a₁=1；
n≥2時，-a₁+a₂-a₃+…+a_n-1（-1）^n-1=（-1）^n-1（n-1），②
①-②可得a_n（-1）ⁿ=（-1）ⁿn-（-1）^n-1（n-1），
化簡可得a_n=2n-1，對n=1也成立．
b_n=g（2ⁿ+4），可得b₁=g（6）=g（3）=a₃=5，
b₂=g（8）=g（4）=g（2）=g（1）=a₁=1，
b₃=g（12）=g（6）=g（3）=a₃=5，
則b_n=a${\;}_{{2}^{n-2}+1}$=2^n-1+1，n≥3，
則數(shù)列{b_n}的前n（n≥2）項和S_n等于5+1+（4+…+2^n-1）+n-2
=6+4•$\frac{1-{2}^{n-2}}{1-2}$+n-2=2ⁿ+n．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{6，n=2}\\{{2}^{n}+n，n≥3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的求和：分組求和，注意運用等比數(shù)列的求和公式，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．