Question

如圖所示為某風(fēng)景區(qū)設(shè)計(jì)建造的一個(gè)休閑廣場，廣場的中間造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成對稱的十字形區(qū)域，十字形區(qū)域面積為2000m²，計(jì)劃在正方方形MNPQ上建一座“觀景花壇”，造價(jià)為每平方4100元，在四個(gè)相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪石材地坪，價(jià)格為每平方110元，再在四個(gè)空角（如△DQH等）上鋪草坪，價(jià)格為每平方80元．設(shè)AD長為xm，DQ長為ym．
（I）試找出x與y滿足的等量關(guān)系式；
（Ⅱ）若該廣場的占地面積不超過2800m²，求x的取值范圍；
（Ⅲ）求該廣場的總造價(jià)的最小值及此時(shí)AD的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，十字形區(qū)域面積為矩形DAMQ面積的四倍與正方形MNPQ面積之和，得出4xy+x²=2000
（Ⅱ） x的取值范圍應(yīng)有（Ⅰ）中的制約關(guān)系，和占地面積不超過2800m^{2_共同確定}．
（Ⅲ） 設(shè)廣場的總造價(jià)為P則P=4100x²+110•4xy+80•2y²，化簡整理得出4000x²+

40000000

x2

+180000，再利用基本不等式 求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知，十字形區(qū)域面積為矩形DAMQ面積的四倍與正方形MNPQ面積之和，
得出x與y滿足的等量關(guān)系式為：4xy+x²=2000
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得y=

2000-x2

4x

，
由y＞0，得0＜x＜20

5

廣場的占地面積S=2000+2y²≤2800
則y≤20，即y=

2000-x2

4x

≤20
得x≥20，
 綜上20≤x＜20

5

 （Ⅲ） 設(shè)廣場的總造價(jià)為P
則P=4100x²+110•4xy+80•2y²
=4100x²+110•（2000-x²）+160（

500

x

-

x

4

）²
=4000x²+

40000000

x2

+180000
≥980000
取等號的條件是x=10．

點(diǎn)評：本題考查基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)．建立正確的函數(shù)關(guān)系式是前提，準(zhǔn)確應(yīng)用不等式求解是保障．在求定義域是一方面要有x＞0，另一方面還要根據(jù)x與y滿足的等量關(guān)系式求解．