若a、b、c＞0，求證：abc≥(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)．

答案：
解析：

　　證明：∵(a＋b－c)＋(b＋c－a)＝2b＞0，

　　(b＋c－a)＋(c＋a－b)＝2c＞0，

　　(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＞0，

　　∴a＋b－c，b＋c－a，c＋a－b中至多有一個數(shù)非正．

　　(1)當a＋b－c，b＋c－a，c＋a－b中有且僅有一個數(shù)為非正時，原不等式顯然成立．

　　(2)a＋b－c，b＋c－a，c＋a－b均為正時，則

　　＝b．

　　同理，，

　　，

　　三式相乘得

　　abc≥(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)．

　　點評：均值不等式成為啟動證題過程的理由(充分條件)，在證題過程中，對三個小不等式實行了疊乘的運算，還有為應用均值不等式而進行的討論都是值得同學們注意的．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•海淀區(qū)二模）函數(shù)f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：①對任意x∈R，有f（x）＞0；②對任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③f（
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）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）在R上是單調增函數(shù)；
（3）若a＞b＞c＞0且b2=ac，求證：f（a）+f（c）＞2f（b）．

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科目：高中數(shù)學 來源：海淀區(qū)二模 題型：解答題

函數(shù)f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：①對任意x∈R，有f（x）＞0；②對任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③f（
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3
）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）在R上是單調增函數(shù)；
（3）若a＞b＞c＞0且b2=ac，求證：f（a）+f（c）＞2f（b）．

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科目：高中數(shù)學 來源：專項題 題型：解答題

函數(shù)f(x)的定義域為R，并滿足以下條件：
①對任意x∈R，有f(x)＞0；
②對任意x，y∈R，有f(xy)=[f(x)]y；
③；
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)求證：f(x)在R上是單調增函數(shù)；
(Ⅲ)若a＞b＞c＞0，且b2=ac，求證：f(a)+f(c)＞2(b)。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f(x)的定義域為R，并滿足以下條件：

①對任意x∈R，有f(x)＞0;

②對任意x、y∈R，有f(xy)=［f(x)］y；

③f()＞1.

(1)求f(0)的值;

(2)求證:f(x)在R上是單調增函數(shù);

(3)若a＞b＞c＞0,且b2=ac,求證:f(a)+f(c)＞2f(b).

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科目：高中數(shù)學 來源：2006年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

函數(shù)f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：①對任意x∈R，有f（x）＞0；②對任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③f（）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）在R上是單調增函數(shù)；
（3）若a＞b＞c＞0且b2=ac，求證：f（a）+f（c）＞2f（b）．

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